Winkelverteilung und logarithmisches Energiedekrement bei Streuung

• Schwerpunktsystem
• Laborsystem
• Logarithmisches Energiedekrement
• Mittlere Stoßzahl

Schwerpunktsystem

Zuerst erfolgt eine Betrachtung im Schwerpunktsystem. In diesem ist Streuung isotrop. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für die Streuung in jede Richtung der Kugeloberfläche $O_{\text{Kugel}} = 4 \pi r^2$ ist gleich wahrscheinlich. Die Funktionaldeterminante für das Integral in sphärischen Koordinaten ist $\text{d}^3 r = r^2 \sin \phi \text{d} \phi \text{d} \omega \text{d} r$

[ \begin{align} W\left(\vec{\Omega_s} \to \vec{\Omega_s}’\right) = \frac{1}{4\pi} \text{d} \vec{\Omega_s} \\ = \frac{1}{4\pi} 2 \pi \sin \phi \text{d} \phi \\ = \underbrace{\frac{12}{2} \sin \phi}_{W(\phi)} \text{d} \phi \\ = W(\phi) \text{d} \phi \end{align} ]

Der Erwartungswert des Streuwinkels im Schwerpunktsystem ergibt sich also zu

[ \begin{align} \bar{\cos \phi} = \frac{\int_0^\pi \cos \phi W(\phi) \text{d}\phi}{\int_0^\pi W(\phi) \text{d}\phi} \\ = \frac{\frac{1}{2} \int_0^\pi \cos \phi \sin \phi \text{d} \phi}{\frac{1}{2} \int_0^\pi \sin \phi \text{d} \phi} = 0 \end{align} ]

Es zeigt sich also im Schwerpunktsystem ein mittlerer Energieunterschied von

[ \begin{align} \bar{E}’ = \frac{1}{2} E \left( \left(1 + \alpha\right) + \left(1 - \alpha\right) \bar{\cos \phi} \right) \\ = \frac{1}{2} E \left(1 + \alpha\right) \\ = \frac{E\left(1 + \alpha\right)}{2} \\ \bar{\Delta E}’ = E - E’ = \frac{E \left(1 - \alpha\right)}{2} \end{align} ]

Laborsystem

Die Transformation in das Laborsystem erfolgt durch die Betrachtung der Energieänderung $W(E \to E’) \text{d}E’$, die aber $W(E\to E’) \text{d}E’ = W(\phi) \text{d}\phi$ erfüllen muss. Hieraus folgt, dass $W(E\to E’) = W(\phi) \frac{\text{d}\phi}{\text{d}E’}$ gilt.

[ \begin{align} \frac{\text{d}E’}{\text{d}\phi} = -\frac{E(1-\alpha) \sin \phi}{2} \\ \frac{\text{d}\phi}{\text{d}E’} = - \frac{2}{E(1-\alpha)\sin \phi} \\ W(\phi) = \frac{1}{2} \sin \phi \\ W(E \to E’) = -\frac{1}{2} \sin \phi \frac{2}{E(1-\alpha) \sin \phi} = -\frac{1}{E(1-\alpha)} \end{align} ]

Hieraus kann erkannt werden, dass die Wahrscheinlichkeit des Übergangs nicht von der Endenergie abhängt!. Geometrische Überlegungen liefern nun (mit $\bar{x}$ gekennzeichnete Größen bezeichnen wieder Größen im Schwerpunktsystem)

[ \begin{align} v’ \cos \theta = v_s \cos \bar{\phi} + \cos \phi \bar{v}’ \\ = \frac{1}{A+1} v + \cos \bar{\phi} \left( - v \frac{A}{A+1} \right) \\ = \frac{1}{A+1} v \left(1 + \cos \bar{\phi} A\right) \end{align} ]

Hiermit kann der Streuwinkel im Laborsystem wie folgt beschrieben werden ($\bar{x}$ beschreibt nun wieder Erwartungswerte):

[ \begin{align} \cos \theta = \frac{1}{v’} \left( \frac{1}{A+1} v \left(1 + \cos \phi A \right) \right) \\ = \frac{A+1}{v \sqrt{A^2 + 2A \cos \phi + 1}} \frac{\left(1 + \cos \phi A\right) v}{A+1} \\ = \frac{1 + \cos \phi A}{\sqrt{A^2 + 2A \cos \phi + 1}} \\ \bar{\cos \theta} = \frac{\int_0^\infty \cos \theta W(\theta) \text{d}\theta}{\int_0^\infty W(\theta) \text{d}\theta} \\ = \frac{\int_0^\infty \cos \theta W(\phi) \text{d} \phi}{\int_0^\infty W(\phi) \text{d}\phi} \\ = \frac{\frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{1 + \cos\phi A}{\sqrt{A^2 + 2A \cos \phi + 1}} \sin \phi \text{d} \phi}{\frac{1}{2} \int_0^\infty \sin \phi \text{d} \phi} = \frac{2}{3A} \\ \bar{\cos \theta} = \frac{2}{3A} \end{align} ]

Hieraus zeigt sich eine starke Anisotropie der Streuung in Vorwärtsrichtung.

Logarithmisches Energiedekrement

Zur weiteren Beschreibung der Vorgänge bietet sich die Einführung des mittleren logarithmischen Energiedekrements ein:

[ \begin{align} \chi = \bar{\text{ln} \frac{E}{E’}} = \frac{\int_E^{\alpha E} \text{ln} \frac{E}{E’} W(E \to E’) \text{d}E’}{\int_E^{\alpha E} W(E \to E’) \text{d}E’} \\ = \frac{\int_E^{\alpha E} \text{ln} \overbrace{\left( \frac{E}{E’} \right)}^{x} \frac{1}{E(1-\alpha)} \text{d}E’}{\int_E^{\alpha E} \frac{1}{E(1-\alpha)} \text{d}E’} \\ = \frac{1}{1 - \alpha} \int_1^\alpha \text{ln} \left(x\right) \text{d}x = 1 + \frac{\alpha}{1 - \alpha} \text{ln} \left( \alpha \right) \end{align} ]

Mittlere Stoßzahl

Mit Hilfe des logarithmischen Energiedekrements kann die mittlere Stoßzahl berechnet werden, die benötigt wird um ein Neutron von der Energie $E$ auf eine Endenergie $E^{(n)}$ nach $n$ Stößen abzubremsen.

[ \begin{align} \bar{\text{ln} \frac{E}{E^{(n)}}} = n \chi \\ n = \frac{1}{\chi} \bar{\text{ln} \frac{E}{E^{(n)}}} \end{align} ]