Fick'sches Gesetz

04 Aug 2014 - tsp
Last update 16 Apr 2019

Beim Fick’schen Gesetz handelt es sich um ein Diffusionsgesetz. Im folgenden wird angenommen, dass das beschriebene Medium quellenfrei, die Streuung isotrop, der Streuquerschnitt $\Sigma_S$ ortsunabhängig ist (d.h., dass es sich um ein homogenes Medium handelt). Es wird weiterhin ein stationärer Zustand beschrieben. Zuletzt wird während der Herleitung das Fluss linear Approximiert, d.h. es wird davon ausgegangen, dass nur kleine Flussvariationen vorliegen.

Zuerst werden einige wichtigen Größen betrachtet:

Wahrscheinlichkeit für Streuung im Volumen $\text{d}V$: $\Sigma_S(\vec{r}) \phi(\vec{r}) \text{d}V$
Wahrscheinlichkeit für Streuung in das Flächenelement $\text{d}A$: $\frac{1}{4 r^2 \pi} \cos(\theta) \text{d}A$
Von $\text{d}V$ nach $\text{d}A$ gestreute Neutronen ohne Absorption: $\frac{1}{4 r^2 \pi} \Sigma_S(\vec{r}) \phi(\vec{r}) \cos(\theta) \text{d}A \text{d}V$
Abschwächung durch Absorption am Weg $r$: $e^{- \Sigma_t r}$
Von $\text{d}V$ nach $\text{d}A$ gestreute Neutronen: $\frac{1}{4 r^2 \pi} e^{- \Sigma_t r} \Sigma_S(\vec{r}) \phi(\vec{r}) \cos(\theta) \text{d}A \text{d}V$

Nun wird der Durchfluss von Neutronen durch eine unendlich ausgedehnte Halbkugel oberhalb der $xy$ Ebene betrachtet.

[ \begin{align} J_{z}^{-} \text{d}A = \int_{\psi=0}^{2\pi} \int_{\theta}^{\frac{pi}{2}} \int_{r=0}^{\infty} \frac{1}{4 r^2 \pi} e^{- \Sigma_t r} \Sigma_S(\vec{r}) \phi(\vec{r}) \cos(\theta) \text{d}A \underbrace{r^2 \sin(\theta) \text{d}\theta \text{d}\psi \text{d}r}_{\text{d}V} \\ \frac{\Sigma_s \text{d}A}{4 r^2 \pi} \int_{\psi=0}^{2\pi} \int_{\theta}^{\frac{pi}{2}} \int_{r=0}^{\infty} e^{- \Sigma_t r} \phi(\vec{r}) \cos(\theta) r^2 \sin(\theta) \text{d}\theta \text{d}\psi \text{d}r \end{align} ]

Mit der Taylorentwicklung des Flusses $\phi$ um die Entwicklungsstelle $0$

[ \begin{align} \phi(\vec{r}) \approx \phi_0 + x\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_0 + y\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)_0 + z\left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)_0 \end{align} ] </p>

sowie den Kugelkoordinaten sowie der Betrachtung des Integrals $\int_{\psi=0}^{2\pi}$

[ \begin{align} \left. \begin{aligned} x = r \sin \theta \cos \psi \\ y = r \sin \theta \sin \psi \end{aligned} \right\} \int_{\psi = 0}^{2 \pi} \text{d}\psi \to 0 \\ \end{align} ]

[ \begin{align} z = r \cos \theta \end{align} ]

folgt

[ \begin{align} J_z^- = \frac{\Sigma_s}{4\pi} \underbrace{\int_{\psi=0}^{2 \pi} \text{d}\phi}_{2 \pi} \underbrace{\int_{r = 0}^\infty r e^{-\Sigma_t r} \text{d}r}_{\frac{1}{\Sigma_t^2}} \left( \phi_0 \underbrace{\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \text{d}\theta}_{\frac{1}{2}} + \frac{\partial}{\partial z} \underbrace{\int_{\theta=0}^{\frac{pi}{2}} \cos^2 \theta \sin \theta \text{d}\theta}_{\frac{1}{3}} \right) \end{align} ]

Hieraus können die Ströme in jede Richtung als Summe der Ströme in den jeweiligen Halbebenen gebildet werden:

[ \begin{align} J_z^- = \frac{\Sigma_s \phi_0}{4 \Sigma_t} + \frac{\Sigma_s}{6 \Sigma_t^2} \frac{\partial \phi}{\partial z} \\ J_z^+ = \frac{\Sigma_s \phi_0}{4 \Sigma_t} - \frac{\Sigma_s}{6 \Sigma_t^2} \frac{\partial \phi}{\partial z} \\ J_z = J_z^+ - J_z^- = - \frac{\Sigma_s}{3 \Sigma_t^2} \frac{\partial \phi}{\partial z} \\ \vec{J} = \vec{i} J_x + \vec{j} J_y + \vec{k} J_z \\ \vec{J} = - \underbrace{\frac{\Sigma_s}{3 \Sigma_t^2}}_{D} \text{grad} \phi \end{align} ]

Hieraus ist also das Fick’sche Diffusionsgesetz

[ \begin{align} \vec{J} = -D \text{grad} \phi \end{align} ]

mit der Diffusionskonstante $D = \frac{\Sigma_S}{3 \Sigma_t^2}$


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Dipl.-Ing. Thomas Spielauer, Wien (webcomplains389t48957@tspi.at)

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