Vierfaktor Formel

04 Aug 2014 - tsp
Last update 16 Apr 2019

Um Reaktoren in unterkritisch, kritisch und überkritisch einzuteilen wird die so genannte Vierfaktor Formel verwendet. Über sie wird ein Vermehrungsfaktor der Neutronen der Generation $i+1$ zur Zahl der Neutronen der Generation $i$ beschrieben. Sie setzt sich aus folgenden Komponenten zusammen:

Thermische Nutzung $f_{th}$
Die thermische Nutzung gibt an, wie viele Neutronen für weitere Spaltungsvorgänge genutzt und nicht parasitär absorbiert werden. Hierbei handelt es sich um den Faktor $\frac{\text{Absorbierte thermische Neutronen im Brennstoff}}{\text{Gesamt absorbierte thermische Neutronen}}$.
Schnellspaltfaktor $\epsilon$
Berücksichtigt, dass Spaltungsvorgänge nicht nur durch thermische- sondern auch durch schnelle Neutronen erfolgen kann. Hierbei handelt es sich um den Faktor $\frac{\text{Spaltung schnell + Spaltung thermisch}}{\text{Spaltung thermisch}}$.
Regenerationsfaktor $\eta_{th}$
Der Faktor $\eta$ beschreibt, wie viele schnelle Neutronen im Mittel pro Spaltvorgang freigesetzt werden.
Resonanzentkommwahrscheinlichkeit $p_{tn}$
Hierbei handelt es sich um die Bremsnutzung bzw. die Wahrscheinlichkeit, dass Neutronen nicht parasitär absorbiert wird und dabei z.B. über $(n,\gamma)$ Prozesse verloren geht.

Hieraus setzt sich die Vierfaktorformel für einen unendlichen Reaktor zusammen:

[ \begin{align} k_\infty = f_{th} \eta_{th} \epsilon p_{th} \end{align} ]

Für den endlichen Reaktor werden noch die Verbleibwahrscheinlichkeiten $P_s$ und $P_{th}$ berücksichtigt, die aus den Randbedingungen durch die Geometrie bestimmt werden:

[ \begin{align} k = k_\infty P_{th} P_s \end{align} ]

Mit Hilfe der Vierfaktorformel beziehungsweise des Vermehrungsfaktors $k$ ist nun eine Einteilung in die Zustände eines Reaktors möglich:

[ \begin{align} k = \left\{ \begin{aligned} < 1 \to \text{unterkritisch} \\ = 1 \to \text{kritisch} \\ > 1 \to \text{überkritisch} \end{aligned} \right. \end{align} ]

Mit Hilfe des Vermehrungsfaktors $k$ kann die Neutronenvermehrung einfach bestimmt werden:

[ \frac{\text{d}n}{\text{d}t} = \frac{n(k-1)}{l_0} ]

Hierbei wurde die Generationenzeit $l_0$ verwendet. Diese hängt mit dem makroskopischen Absorptionsquerschnitt $\Sigma_a$ beziehungsweise der mittleren freien Weglänge $\lambda_a$ über $l_0 = \frac{\lambda_a}{v} = \frac{1}{\Sigma_a v}$ zusammen.

Die Reaktorperiode $T$ kann nun über die Lösung der Differentialgleichung

[ n = n_0 \text{e}^{\frac{(k-1)t}{l_0}} = n_0 \text{e}^{\frac{t}{T}} ]

bestimmt werden.


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Dipl.-Ing. Thomas Spielauer, Wien (webcomplains389t48957@tspi.at)

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