Inhour Gleichung (Zeitliches Verhalten)

Die Inhour Gleichung beschreibt das zeitliche Verhalten eines Reaktors. Ausgehend von der zeitabhängigen Erhaltungsgleichung

[ \begin{align} D \Delta \phi(\vec{r}, t) - \Sigma_a \phi(\vec{r}, t) + S_{th}(\vec{r}, t) = \frac{1}{v} \frac{\text{d} \phi(\vec{r}, t)}{\text{d} t} \\ S_{th}(\vec{r},t) = \underbrace{p(\tau_{th}) q(\vec{r} \tau_{th}, t)}_{\text{Quelle thermischer Neutronen}} \\ q(\vec{r}, \tau_{th}, t) = \underbrace{\frac{k_\infty}{p} \Sigma_a \phi(\vec{r}, t)}_{\text{Spaltquellen}} + \underbrace{Q_n(\vec{r})}_{\text{stationäre Quellen}} \end{align} ]

Wie bereits bei der Kritikalität eines nackten Reaktors gezeigt wurde, kann diese Gleichung durch

[ \begin{align} \phi(\vec{r}, t) = \frac{p}{k_\infty \Sigma_a} \sum_{n=1}^\infty \left(A_n \text{e}^{\frac{k_n-1}{l_n}t} + \frac{Q_n k_n}{1 - k_n}\right) R_n \end{align} ]

gelöst werden, wobei wieder ein Seperationsansatz $\phi(\vec{r}, t) = R(\vec{r})T(t)$ verwendet wird. Für das Zeitverhalten des Reaktors spielen verzögerte Neutronen eine signifikante Rolle (ein prompt kritischer Reaktor wäre nicht steuerbar, ist der Reaktor hingegen nur mit verzögerten Neutronen kritisch ist eine Regelung möglich). Der Anteil an der Gesamtwirkung durch verzögerte Neutronen ist aufgrund ihrer geringeren Entstehungsenergie etwas höher als ihr Anteil an der Gesamtheit der Neutronen. Die Gesamtproduktion von Spaltneutronen - das heißt sowohl verzögerte als auch prompte Neutronen) ist

[ v \epsilon \Sigma_f \phi(\vec{r}, t) = \frac{k_\infty}{p} \Sigma_a \phi(\vec{r}, t) ]

Der Quellterm der Prompten Neutronen wird um den Neutronenverlust durch Resonanzabsorption und Ausfluss aus dem Reaktor korrigiert:

[ \text{e}^{B^2 \tau_{th}} p\left(1 - \beta\right) \frac{k_\infty}{p} \Sigma_a \phi(\vec{r}, t) = Q_{th}^p ]

Der Quellterm der verzögerten Neutronen kann über die Zerfallsraten der Mutterkerne sowie den auftretenden Verlusten durch Ausfluss modelliert werden, wobei die verzögerten Neutronen typischer Weise in 6 Energiegruppen eingeteilt werden. Desweiteren kann die Erzeugungsrate der Mutterkerne verzögerter Neutronen $\frac{\partial C_i}{\partial t}$ definiert werden:

[ \sum_{i=1}^6 \lambda_i C_i (\vec{r}, t) \\ \underbrace{p \text{e}^{-B^2 \tau_{th}}}_{\text{Verbleibwahrscheinlichkeit}} \underbrace{\sum_{i=1}^6 \lambda_i C_i(\vec{r}, t)}_{\text{Entstehende thermische Neutronen}} = Q_{th}^v \\ \frac{\partial C_i(\vec{r}, t)}{\partial t} = -\lambda_i C_i (\vec{r}, t) + \Sigma_a \frac{k_\infty}{p} \beta_i \phi(\vec{r}, t) ]

$\beta_i$ ist hierbei der Anteil der verzögerten Neutronen der Gruppe $i$ an den verzögerten Neutronen sowie $\beta = \sum_{i=1}^6 \beta_i$ der Gesamtanteil an verzögerten Neutronen an der Gesamtzahl der Spaltneutronen.

[ D \Delta \phi(\vec{r}, t) + \underbrace{\Sigma_a \left( k_\infty \text{e}^{-B^2 \tau} (1 - \beta) - 1\right) \phi(\vec{r}, t)}_{\text{Spontane Neutronen und Absorption}} + p\text{e}^{-B^2 \tau} \sum_{i=1}^6 \lambda_i C_i(\vec{r}, t) = \frac{1}{v} \frac{\partial \phi(\vec{r}, t)}{\partial t} ]

Aus dem Seperationsansatz folt für die Grundmode $\frac{\Delta \phi}{\phi} = \frac{\Delta R}{R} = -B^2$, wodurch die Erzeugungsrate der Mutterkerne mit dem Ansatz $C_i(\vec{r}, t) = G(\vec{r}) H(t)$ durch

[ \frac{\text{d} H_i(t)}{\text{d}t} = \beta_i \frac{k_\infty}{o} \Sigma_a \frac{R(\vec{r})}{G(\vec{r})} T(t) - \lambda_i H_i(t) ]

ausgedrückt werden kann. Die Lösung der Gleichung liefert mit der Definition der Reaktivität $\rho = \frac{k-1}{k}$ (und damit $k = \frac{1}{1 - \rho}$) die Inhour Gleichung:

[ \rho = \frac{l}{kT} + \sum_i \frac{\beta_i}{\lambda_i T + 1} \\ \phi = \sum_i A_i \text{e}^{\omega_i t} ]

Da negative Terme rasch abklingen, ist nur der Beitrag von $\omega_0$ für $t \gg \frac{1}{\lambda_i}$ interessant:

[ \phi = \phi_0 \text{e}^{\omega_0 t} = \phi_0 \text{e}^\frac{T}{\tau} ]

Der Term $\omega_0$ ist hierbei die stabile Reaktorperiode, die in einem gewissen Bereich von $l$ unabhängig ist - in diesem Bereich ist eine stabile Regelung möglich. Eine analytische Betrachtung ist für die Grenzfälle $\omega_0 \ll \lambda_i$ oder $\omega_0 \gg \lambda_i$ möglich. Bei großen Reaktorperioden von ca. $100 \text{s}$ zeigt sich eine von der Neutronenlebensdauer unabhängige Reaktorperiode, die umgekehrt proportional mit der Reaktivität zusammenhängt ($T \approx \frac{1}{\rho} \sum_i \frac{\beta_i}{\lambda_i}$. Für sehr große Reaktivitätsänderungen zeigt sich, dass die Reaktorperiode nur durch prompte Neutronen bestimmt wird ($T \approx \frac{l}{k\rho} = \frac{l}{k-1}$), was zu sehr kurzen Reaktorperioden ($T < 0.2\text{s}$) und damit einer schweren bis unmöglichen Regelung führt.

Löst man die Gleichung und fasst dabei alle verzögerten Neutronen zu einer Gruppe zusammen, kann mit dem Ansatz $\phi = A_0 \text{e}^{\omega_0 t} + A_1 \text{e}^{\omega_1 t}$ einfach erkannt werden, dass im Falle eines negativen Reaktivitätssprungs die Abschaltung des Reaktors durch verzögerte Neutronen gehemmt wird (hierbei liegt $T \approx - 50\text{s}$), woraus erkannt werden kann, dass selbst bei sehr großen Reaktivitäten eine finite Reaktorperiode folgt, d.h. die Abschaltgeschwindigkeit limitiert ist.

Die durch diese Reaktorperiode hervorgerufene Nachzerfallswärme ist allerdings gegenüber der Nachzerfallswärme durch Spaltprodukte vernachlässigbar.