Stoßgesetz, maximaler Energieübertrag

Zur näheren Modellierung der Moderations- und Diffusionsprozesse wird zuerst eine Beschreibung des maximalen Energieübertrags bei Streuung benötigt. Im folgenden wird von elastischer Streuung ausgegangen - das heißt die Stoßpartner verändern ihre innere Struktur nicht und sind nicht in der Lage Energie auf einem anderen Weg als durch kinetische Energie aufzunehmen.

Um den maximalen Energieübertrag zu betrachten wird der Stoß einmal im Laborsystem bei bewegtem Schwerpunkt und einmal im Schwerpunktsystem mit ruhendem Schwerpunkt betrachtet.

Im folgenden wird die Atommasse relativ zur Neutronenmasse beschrieben: $A = \frac{m_k}{m_n}$, wobei $m_n$ die Neutronenmasse und $m_k$ die Atommasse des Stoßpartners ist. Hiermit ist eine Beschreibung mit der relativen Neutronenmasse $1$ des Neutrons und der relativen Masse $A$ des Stoßpartners möglich.

Zuerst wird der Schwerpunkt $x_s$ mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit $v_s$ beschrieben:

[ \begin{align} m_n(x - x_s) = m_k x_s \\ (x - x_s) = \frac{m_k}{m_n} x_s \\ x = A x_s + x_s \\ x_s = \frac{x}{A + 1} \\ v_s = \frac{\text{d}}{\text{d}t} x_s = \frac{1}{A+1} v \end{align} ]

Die Geschwindigkeit $v$ ist hierbei die Neutronengeschwindigkeit des einfallenden Neutrons, wobei von stillstehenden Moderatorkernen ausgegangen wird.

Im Schwerpunktsystem wird die Geschwindigkeit des Moderatorkerns durch $\bar{v_k} = - v_s = -\frac{1}{A+1} v$ und die Geschwindigkeit des Neutrons durch $\bar{v} = v - v_s = v - \frac{1}{A+1}v = v \frac{A}{A+1}$ ausgedrückt.

Aus der Impulserhaltung folgt

[ \begin{align} m_n \bar{v} + m_A \bar{v_k} = m_n \bar{v}’ + m_a \bar{v_k}’ = 0 \\ \bar{v} + A \bar{v_k} = \bar{v}’ + A \bar{v_k}’ \\ \bar{v} + A \bar{v_k} - A \bar{v_k}’ = \bar{v}’ \\ \bar{v} + A\left(\bar{v_k} - \bar{v_k}’\right) = \bar{v}’ \\ \to \bar{v}’^2 = \left( \bar{v} + A\left(\bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right)\right)^2 \end{align} ]

Aus der Energieerhaltung folgt

[ \begin{align} \frac{m_n \bar{v}^2}{2} + \frac{m_A \bar{v_k}^2}{2} = \frac{m_n \bar{v}’^2}{2} + \frac{m_A \bar{v_k}’^2}{2} \\ \bar{v}^2 + A \bar{v_k}^2 = \bar{v}’^2 + A \bar{v_k}’^2 \\ \bar{v}^2 + A \left( \bar{v_k}^2 - \bar{v_k}’^2 \right) = \bar{v}’^2 \end{align} ]

Gleichsetzen der beiden Terme liefert mit der Bildung von $\bar{v}’^2$ aus dem Impulserhaltungssatz für die Geschwindigkeit des gestreuten Moderatorkerns

[ \begin{align} \bar{v}^2 + A \left( \bar{v_k}^2 - \bar{v_k}’^2 \right) = \left( \bar{v} + A\left(\bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right)\right)^2 \\ \bar{v}^2 + A \left( \bar{v_k}^2 - \bar{v_k}’^2 \right) = \bar{v}^2 + A^2 \left(\bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right)^2 + 2 \bar{v} A \left(\bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right) \\ A \left( \bar{v_k}^2 - \bar{v_k}’^2 \right) = A^2 \left(\bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right)^2 + 2 \bar{v} A \left(\bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right) \\ \left( \bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right)\left( \bar{v_k} + \bar{v_k}’ \right) = A \left( \bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right)^2 + 2 \bar{v} \left( \bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right) \\ \bar{v_k} + \bar{v_k}’ = A \left( \bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right) + 2 \bar{v} \\ \bar{v_k} + \bar{v_k}’ = A \bar{v_k} - A \bar{v_k}’ + 2 \bar{v} \\ \bar{v_k}’ \left(1 + A\right) = \bar{v_k} \left(A-1\right) + 2 \bar{v} \\ \bar{v_k}’ = \frac{1}{1+A} \left( \bar{v_k} \left(A-1\right) + 2 \bar{v} \right) \\ \bar{v_k}’ = \frac{1}{1+A} \left( \underbrace{\frac{1}{A+1} v}_{\bar{v_k}} \left(1-A\right) + 2 \underbrace{v \frac{A}{A+1}}_{\bar{v}} \right) \\ \bar{v_k}’ = \frac{1}{1+A} \left(\frac{v \left(1+A \right)}{A+1} \right) \\ \to \bar{v_k}’ = \frac{v}{A+1} \end{align} ]

Einsetzen liefert für die Geschwindigkeit des Neutrons nach dem Stoß

[ \begin{align} \bar{v}’ = \bar{v} + A \left(\bar{v_k} - \bar{v_k}’ \right) = v\frac{A}{A+1} + A \left( - \frac{1}{A+1} v - v \frac{1}{A+1} \right) \\ \bar{v}’ = v A \left( \frac{1}{A+1} - \frac{2}{A+1} \right) \\ \bar{v}’ = - v \frac{A}{A+1} \end{align} ]

Die Rücktransformation der Geschwindigkeiten $\bar{v}’$ und $\bar{v_k}’$ in das Laborsystem liefert hiermit

[ \begin{align} v’^2 = v_s^2 + \bar{v}’^2 - 2 v_s \bar{v}’ \cos(\pi - \psi) \\ = v_s^2 + \bar{v}’^2 + 2 v_s \bar{v}’ \cos(\psi) \\ = \frac{1}{\left(A+1\right)^2} v^2 + v^2 \frac{A^2}{\left(A+1\right)^2} + 2 v \frac{1}{A+1} \left(-v \frac{A}{A+1} \right) \cos(\psi) \\ = v^2 \left( \frac{1 + A^2 - 2 A \cos(\psi)}{\left(A+1\right)^2} \right) \\ \to \frac{\bar{v}’^2}{\bar{v}^2} = \frac{A^2 + 2 A \cos(\psi) + 1}{\left(A+1\right)^2} \end{align} ]

Mit $E_{\text{kin}} = \frac{m v^2}{2}$ folgt

[ \begin{align} \frac{E’}{E} = \frac{A^2 + 2 A \cos(\psi) + 1}{\left(A+1\right)^2} \\ E’ = E \frac{A^2 + 2 A \cos(\psi) + 1}{\left(A+1\right)^2} \\ \Delta E = E - E’ = E \left(1 - \frac{A^2 + 2 A \cos(\psi) + 1}{\left(A+1\right)^2} \right) \end{align} ]

Zur einfacheren Rechnung wird die Größe $\alpha = \left(\frac{A-1}{A+1}\right)^2$ definiert und $E’$ über die relative Massenzahl ausgedrückt:

[ \begin{align} \frac{E’}{E} = \frac{1}{2} \left( \left(1 + \alpha\right) + \left(1 - \alpha\right) \cos(\psi) \right) \\ \to \Delta E = E - E’ = E \left( 1 - \frac{1}{2} \left( \left(1 + \alpha\right) + \left(1 - \alpha\right) \cos(\psi) \right) \right) \\ = E \left( - \frac{1}{2} \left( \left(-1 + cos \psi \right) + \alpha\left(1 - \cos \psi \right) \right) \right) \\ = E \frac{1 - \alpha}{2} \left(1 - \cos \psi\right) \end{align} ]

Die Betrachtung des minimalen ($\psi = 0$) und maximalen ($\psi = \pi$) Streuwinkels liefert die minimale und maximale Neutronenenergie nach dem Streuvorgang:

[ \begin{align} \left. \begin{aligned} E’_{\text{max}} \mid_{\psi = 0} = E \\ E’_{\text{min}} \mid_{\psi = \pi} = \alpha E \end{aligned} \right\} \alpha E \leq E’ \leq E \end{align} ]