WKB Näherung

Ausgehend von der zeitunabhängigen Schrödingergleichung [ \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r}) ]

Folgt mit dem Ansatz

[ \begin{aligned} \psi(\vec{r})=\text{e}^{\frac{\text{i}}{\hbar}\kappa(\vec{r})} \\ \to\nabla\psi(\vec{r})=\frac{\text{i}}{\hbar}\text{e}^{\frac{i}{\hbar}\kappa(\vec{r})}\nabla\kappa(\vec{r})=\frac{\text{i}}{\hbar}\psi(\vec{r})\nabla\kappa(\vec{r}) \\ \Delta\psi(\vec{r})=-\frac{1}{\hbar^{2}}\psi\left(\nabla\kappa\right)^{2}+\frac{\text{i}}{\hbar}\psi\Delta\kappa \end{aligned} ]

Einsetzen in die Schrödingergleichung liefert

[ \begin{aligned} \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{1}{\hbar^{2}}\psi\left(\nabla\kappa\right)^{2}-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\text{i}}{\hbar}\psi\Delta\kappa+V\psi=E\psi \\ \frac{1}{2m}\left(\nabla\kappa\right)^{2}-\frac{\text{i}\hbar}{2m}\Delta\kappa=E-V \\ -\text{i}\hbar\Delta\kappa+\left(\nabla\kappa\right)^{2}=2m(E-V) \end{aligned} ]

Nun wird $\kappa(\vec{r})$ in eine Potenzteihe von $\hbar$ entwickelt:

[ \kappa(\vec{r})=\sum_{n=0}^{\infty}\kappa_{n}(\vec{r})\left(\frac{\hbar}{\text{i}}\right)^{n}=\kappa_{0}(\vec{r})+\kappa_{1}(\vec{r})\frac{\hbar}{\text{i}}+\ldots ]

Abbrechen nach der 1. Ordnung ($\kappa_{1}$) und einsetzen in die Schrödingergleichung liefert

[ \begin{aligned} -\text{i}\hbar\Delta\left(\kappa_{0}+\kappa_{1}\frac{\hbar}{\text{i}}\right)+\left(\nabla\left(\kappa_{0}+\kappa_{1}\frac{\hbar}{\text{i}}\right)\right)^{2}=2m(E-V) \\ -\text{i}\hbar\Delta\kappa_{0}-\hbar^{2}\Delta\kappa_{1}+\left(\left(\nabla\kappa_{0}\right)^{2}+2\frac{\hbar}{\text{i}}\nabla\kappa_{0}\nabla\kappa_{1}-\hbar^{2}\left(\nabla\kappa_{1}\right)^{2}\right)=2m(E-V) \end{aligned} ]

Sortieren nach Potenzen von $\hbar$ und Null-Setzen der einzelnen additiven Faktoren liefert:

[ \left(\left(\nabla\kappa_{0}\right)^{2}-2m(E-V)\right)+\hbar\left(-\text{i}\Delta\kappa_{0}+\frac{2}{\text{i}}\nabla\kappa_{0}\nabla\kappa_{1}\right)+\left(-\Delta\kappa_{1}-\left(\nabla\kappa_{1}\right)^{2}\right)=0 ]

Null-setzen der einzelnen additiven Faktoren liefert die folgenden Gleichungen:

$\hbar^{0}$:	$\left(\nabla\kappa_{0}\right)^{2}-2m(E-V)=0$
$\hbar^{1}$:	$\Delta\kappa_{0}+2\nabla\kappa_{0}\nabla\kappa_{1}=0$
$\hbar^{2}$:	$\Delta\kappa_{1}+\left(\nabla\kappa_{1}\right)^{2}=0$

Aus der Gleichung 0. Ordnung folgt, dass

[ \nabla\kappa_{0}=\pm\sqrt{2m(E-V)} ]

da aber $\sqrt{2m(E-V)}=\sqrt{2mE_{kin}}=\sqrt{2m\frac{mv^{2}}{2}}=\sqrt{m^{2}v^{2}}=\sqrt{p^{2}}=p$ der Impuls ist, kann $\nabla\kappa_{0}=\pm\vec{p}$ angenommen werden. Einsetzen in die Gleichung 2. Ordnung liefert damit:

[ \begin{aligned} \nabla\left(\nabla\kappa_{0}\right)+2\nabla\kappa_{0}\nabla\kappa_{1}=0 \\ \pm\nabla\vec{p}=-\pm2\vec{p}\left(\nabla\kappa_{1}\right) \end{aligned} ]

Hieraus kann man erkennen, dass

[ \begin{aligned} -\frac{\nabla\vec{p}}{2\vec{p}}=\nabla\kappa_{1} \\ \nabla\kappa_{1}=-\frac{1}{2}\nabla\ln\left(\vec{p}\right) \\ \kappa_{1}=-\frac{1}{2}\ln\left(\vec{p}\right)+c_{1} \end{aligned} ]

wobei es sich bei $c$ um eine Integrationskonstante handelt. Wodurch die Faktoren $\kappa_{0}$ und $\kappa_{1}$ fixiert werden können:

[ \begin{aligned} \kappa_{0}(\vec{r})=\pm\int\vec{p}(\vec{r}’)\text{d}\vec{r}’ \\ \kappa_{1}\left(\vec{r}\right)=-\frac{1}{2}\ln\left(\vec{p}(\vec{r})\right)+c_{1} \end{aligned} ]

Einsetzen in den Ansatz liefert:

[ \begin{aligned} \psi(\vec{r})=\text{e}^{\frac{\text{i}}{\hbar}\kappa(\vec{r})}=\text{e}^{\frac{\text{i}}{\hbar}\left(\kappa_{0}+\frac{\hbar}{\text{i}}\kappa_{1}\right)} \\ \psi(\vec{r})=\text{e}^{\pm\frac{\text{i}}{\hbar}\int\vec{p}(\vec{r}’)\text{d}\vec{r}’}\text{e}^{-\frac{1}{2}\ln\left(\vec{p}(\vec{r})\right)}\underbrace{\text{e}^{c_{1}}}_{c} \\ \psi(\vec{r})=\frac{c}{\sqrt{\vec{p}(\vec{r})}}\text{e}^{\pm\frac{\text{i}}{\hbar}\int\vec{p}(\vec{r}’)\text{d}\vec{r}’} \end{aligned} ]

Hieraus ergibt sich der klassische WKB Ansatz

[ \begin{aligned} \psi(\vec{r})=\frac{c_{1}}{\sqrt{p(\vec{r})}}\text{e}^{\frac{\text{i}}{\hbar}\int p(\vec{r}’)\text{d}\vec{r}’}+\frac{c_{2}}{\sqrt{p(\vec{r})}}\text{e}^{-\frac{\text{i}}{\hbar}\int p(\vec{r}’)\text{d}\vec{r}’} \\ =\frac{c_{1}}{\sqrt{p(\vec{r})}}\text{e}^{\frac{\text{i}}{\hbar}\int\sqrt{2m(E-V(\vec{r}’))}\text{d}\vec{r}’}+\frac{c_{2}}{\sqrt{p(\vec{r})}}\text{e}^{-\frac{\text{i}}{\hbar}\int\sqrt{2m(E-V(\vec{r}’))}\text{d}\vec{r}’} \end{aligned} ]

Die allgemeinen WKG Lösungsansätze könnten nun noch in Lösungen für klassisch erlaubte Gebiete ($E\geq V$) und klassisch verbotene Gebiete ($E<V$) unterteilt werden.

Gültigkeit der WKB Näherung

Um zu betrachten unter welchen Voraussetzungen die WKB Näherung gilt, wird zuerst die Ableitung des WKB Ansatzes gebildet:

[ \begin{aligned} \psi(\vec{r})=\frac{c}{\sqrt{\vec{p}(\vec{r})}}\text{e}^{\pm\frac{\text{i}}{\hbar}\int\vec{p}(\vec{r}’)\text{d}\vec{r}’} \\ \nabla\psi(\vec{r})=-\frac{cp’}{2\sqrt{p^{3}}}\text{e}^{\pm\frac{\text{i}}{\hbar}\int p(r’)\text{d}r’}\pm\frac{c}{\sqrt{p}}\text{e}^{\pm\frac{\text{i}}{\hbar}\int p(r’)\text{d}r’}p(r)\frac{\text{i}}{\hbar} \\ =\left(-\frac{1}{2}\frac{p’}{p}\pm\frac{\text{i}}{\hbar}p\right)\psi \\ \Delta\psi=\left(-\frac{1}{2}\frac{p’‘p-p’p’}{p^{2}}\pm\frac{\text{i}}{\hbar}p’\right)\psi(x)+\left(-\frac{1}{2}\frac{p’}{p}\pm\frac{\text{i}}{\hbar}p\right)^{2}\psi \\ =\left(-\frac{1}{2}\frac{p’’}{p}+\frac{3}{4}\frac{p’^{2}}{p^{2}}-\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}\right)\psi \end{aligned} ]

Einsetzen in die Schrödingergleichung liefert

[ \begin{aligned} -\frac{\hbar^{2}}{2m}\Delta\psi+V\psi=E\psi \\ \Delta\psi=\frac{2m}{\hbar^{2}}(V-E)\psi=-\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}\psi \\ \left(-\frac{1}{2}\frac{p’’}{p}+\frac{3}{4}\frac{p’^{2}}{p^{2}}-\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}\right)\psi=-\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}\psi \\ \left(\frac{-\frac{1}{2}\frac{p’’}{p}+\frac{3}{4}\frac{p’^{2}}{p^{2}}}{\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}}-1\right)\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}\psi=-\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}\psi \end{aligned} ]

Hieraus folgt, dass für die exakte Lösung gelten muss, dass

[ \begin{aligned} \frac{-\frac{1}{2}\frac{p’’}{p}+\frac{3}{4}\frac{p’^{2}}{p^{2}}}{\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}}\to0 \\ -\frac{\hbar^{2}}{2}\frac{p’’}{p^{3}}+\frac{3\hbar^{2}}{4}\frac{p’^{2}}{p^{4}}\to0 \end{aligned} ]

Nun muss getrennt gefordert werden, dass $-\frac{\hbar^{2}}{2}\frac{p’’}{p^{3}}\to0$ und $\frac{3}{4}\left(\frac{\hbar p’}{p^{2}}\right)\to0$ gelten muss. Die zweite Forderung kann umgeformt werden:

[ \frac{\hbar p’}{p^{2}}=\hbar\nabla\frac{1}{p}=\nabla\frac{\hbar}{p} ]

Alternativ kann der Impuls wieder durch Energie und Potential ausgedrückt werden:

[ \mid\hbar\nabla\frac{1}{p}\mid=\mid\nabla\frac{\hbar}{\sqrt{2m(E-V(\vec{r}))}}\mid=|-\frac{m\hbar V’(x)}{\left(2m(E-V(\vec{r}))\right)^{\frac{3}{2}}}|\ll1 ]

Hieraus kann erkannt werden, dass die Variation des Potentials für die Gültigkeit der Näherung klein sein muss.

Der Ausdruck $\frac{\hbar}{p}$ liefert afugrund von $\lambda=\frac{h}{p}$ genau die de Broglie Wellenlänge eines Teilchens mit Impuls $p$, woraus gefolgert werden kann, dass $\mid\frac{\hbar p’}{^{p^{2}}}\mid=\mid\nabla\frac{\lambda(\vec{r})}{2\pi}\mid\ll1$