Wiederkehrende Investitionen - Barwert und Endwert

Das Verständnis, wie wiederkehrende Investitionen und Renten funktionieren, ist entscheidend, um fundierte finanzielle Entscheidungen zu treffen. Dieser Artikel führt durch die Grundlagen von Prozenten, Zinseszinsen und wie Bar- und Endwert von wiederkehrenden Investitionen und Renten berechnet werden können. Dies sind Grundlagen, um Ersparnisse und Investitionen effektiv zu planen.

Dies ist eines der grundlegenderen Themen, die üblicherweise in der Schule gelehrt werden.

• Eine kurze Wiederholung der Grundlagen - Prozente und Zinseszinsen
• Wiederkehrende Zinsen (Zinseszins)
• Wiederkehrende Investitionen und Renten
  • Summe über geometrische Reihen
  • Anwendung der geometrischen Reihe auf wiederkehrende Investitionen
    • Endwert
    • Barwert

Eine kurze Wiederholung der Grundlagen - Prozente und Zinseszinsen

Zuerst wollen wir uns daran erinnern, wie Prozente berechnet werden. Angenommen, ein Basiswert $G$ repräsentiert $100%$, dann können wir $p$ Prozent einfach durch Nutzung der Linearität berechnen:

• Wir wissen, dass $G$ gleich $100 %$ ist
• Daher wissen wir, dass $\frac{G}{100}$ gleich $1%$ ist
• Das bedeutet, dass $\frac{G}{100} * p$ gleich $p%$ ist

Der Basiswert $G$ ist immer der Wert vor dem Änderungsprozess.

Nun sind wir meistens an einem Wachstum um $p%$ oder einer Reduzierung um $p%$ interessiert. Das ist einfach - wir berechnen $p%$ und addieren oder subtrahieren von unserem Basiswert:

Beim Wachstum addieren wir zum Basiswert:

[ \begin{aligned} K_1 &= K_0 + \frac{K_0}{100} * p \\ K_1 &= K_0 + K_0 * \frac{p}{100} \\ K_1 &= K_0 * \underbrace{(1 + \frac{p}{100})}_{q} \end{aligned} ]

Hieraus können wir sehen, dass wir mit einem zusammengesetzten Wert $q$ multiplizieren, der den verbleibenden Prozentsatz nach dem Prozess einschließlich des Basiswertes geteilt durch 100 darstellt. Wenn wir zum Beispiel um $25%$ wachsen, erhalten wir den Wert

[ \begin{aligned} q &= 1 + \frac{25}{100}\\ &= 1.25 \\ &= \frac{125}{100} \end{aligned} ]

Da wir ein Wachstum um $25%$ modelliert und es zu $100%$ addiert haben, berechnen wir nun die verbleibenden $125%$ nach dem Wachstumsprozess.

Das Gleiche gilt für die Reduzierung. Wenn wir eine Reduzierung um $25%$ modellieren wollen, berechnen wir $100% - 25% = 75%$, die verbleiben:

[ \begin{aligned} q &= 1 - \frac{25}{100} \\ &= 0.75 \\ &= \frac{75}{100} \end{aligned} ]

Hier sieht es zwar so aus, als würden wir Prozente addieren und subtrahieren - das funktioniert nur, weil wir genau denselben Prozess beschreiben. Man kann niemals Prozente von Prozessen addieren oder subtrahieren, die nacheinander stattfinden.

Wiederkehrende Zinsen (Zinseszins)

Nun wollen wir uns typische wiederkehrende Zinsen (Zinseszins) ansehen. Dies ist derselbe Prozess, der auch beim Zerfall von radioaktiven Substanzen, beim Wachstum von Bakterien oder wenn man Geld auf dem Bankkonto liegen lässt, stattfindet. Die Annahme ist, dass für jeden betrachteten Zeitschritt ein bestimmter Prozentsatz unserer Menge wächst oder schrumpft. Wie wir sehen werden, ergibt dies eine typische Exponentialfunktion.

Erinnern wir uns also daran, dass das Wachstum (oder für den Zerfall einfach das Vorzeichen umkehren) um $p%$ durch:

[ \begin{aligned} K_1 &= K_0 + \frac{p}{100} * K_0 \\ &= K_0 \underbrace{(1 + \frac{p}{100})}_{q} \\ &= K_0 * q \end{aligned} ]

Nun nehmen wir an, wir modellieren einen zweiten Zeitschritt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass unser Basiswert nun $K_1$ anstelle von $K_0$ ist:

[ \begin{aligned} K_2 &= K_1 + \frac{p}{100} * K_1 \\ &= K_1 * (1 + \frac{p}{100}) \\ &= K_1 * q \end{aligned} ]

Wenn wir nun den Ausdruck für $K_1$ von oben einsetzen:

[ \begin{aligned} K_2 &= K_1 * q \\ &= \underbrace{(K_0 * q)}_{K_1} * q \\ &= K_0 * q^2 \end{aligned} ]

Nun können wir diesen Prozess für weitere Zeitschritte wiederholen:

[ \begin{aligned} K_3 &= K_2 * q \\ &= K_0 * q^2 * q \\ &= K_0 * q^3 \end{aligned} ]

Da wir wissen, dass

[ \begin{aligned} K_{n+1} &= K_n * q \end{aligned} ]

können wir sehen, dass

[ K_n = K_0 * q^n ]

Dies ist eine typische Exponentialfunktion.

Als schnelles Beispiel nehmen wir an, wir legen $100 Eur$ auf unser Bankkonto und haben einen Zinssatz von $0.4%$ pro Jahr. Dann berechnen wir den Geldbetrag nach $t$ Jahren einfach durch

[ K(t) = 100 * 1.004^t ]

Das sieht nicht so beeindruckend aus - schauen wir uns an, was bei einem Wachstum von 4% passieren würde:

Hier sehen wir den typischen Effekt der wiederkehrenden Zinsen. Für eine ordnungsgemäße Finanzberechnung müssen natürlich auch Steuern berücksichtigt werden - in vielen Ländern gibt es eine Pauschalsteuer von 25% auf alle Gewinne. Diese kann einfach in die Formel einbezogen werden:

[ K(t) = K_0 * (1 + \frac{p}{100} * 0.75) ]

Hier haben wir den Wert $0.75$ verwendet, da wir $75%$ des Gewinns behalten dürfen, wenn wir $25%$ Steuern zahlen müssen (dies wird üblicherweise als Kapitalertragssteuer bezeichnet).

Natürlich handelt es sich hierbei um ein sehr einfaches Modell - es wurden z.B. keine Inflationsraten berücksichtigt.

Wiederkehrende Investitionen und Renten

Oft interessiert uns, was passieren würde, wenn wir jeden Monat einen festen Betrag in ein Anlageinstrument oder auf ein Bankkonto investieren würden. Das ist ein wenig schwieriger. Schauen wir uns an, warum, indem wir uns ansehen, wie wir das Kapital nach einigen Jahren berechnen würden, wenn wir jedes Mal einen Betrag von $R$ investieren:

• Zu Beginn starten wir mit $K_0 = R$
• Nach einem Jahr investieren wir ebenfalls $R$, also $K_1 = K_0 * q + R$
• Ein Jahr später machen wir dasselbe:

[ \begin{aligned} K_2 &= K_1 * q + R \\ &= (R * q + R) * q + R \\ &= R * q^2 + R * q + R \\ &= R * (q^2 + q^1 + \underbrace{q^0}_{1}) \end{aligned} ]

• Ein Jahr später investieren wir erneut:

[ \begin{aligned} K_3 &= K_2 * q + R \\ &= (R * q^2 + R * q + R) * q + R \\ &= R * (q^3 + q^2 + q^1 + q^0) \end{aligned} ]

Wie wir sehen können, bildet der Ausdruck in der Klammer die Summe über eine geometrische Reihe. Machen wir einen kurzen Ausflug in die Berechnung der Summe einer geometrischen Reihe.

Summe über geometrische Reihen

Eine geometrische Reihe ist eine Reihe der Form

[ 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + \ldots ]

Es gibt eine einfache Methode, um die Partialsumme einer solchen Reihe zu berechnen. Die Partialsumme ist die Summe der ersten $n$ Elemente:

[ \begin{aligned} s_n &= \underbrace{q^0}_{1} + q^1 + q^2 + q^3 + \ldots + q^n \\ &= \sum_{i=0}^{n} q^i \end{aligned} ]

Wenn wir uns die rekursive Struktur dieser Summe ansehen, können wir eine sehr einfache Formel berechnen:

[ \begin{aligned} s_n &= 1 + q^1 + q^2 + \ldots + q^n \\ &= 1 + q \underbrace{(1 + q^1 + q^2 + q^3 + \ldots + q^{n-1})}_{s_{n-1}} \end{aligned} ]

Unter Verwendung von $s_{n-1} = s_n - q^N$ können wir weiter vereinfachen:

[ \begin{aligned} s_n &= 1 + q^1 + q^2 + \ldots + q^n \\ &= 1 + q \underbrace{(s_n - q^n )}_{s_{n-1}} \\ \to s_n &= 1 + q * s_n - q^{n+1} \\ s_n - q * s_n &= 1 - q^{n+1} \\ s_n (1 - q) &= 1 - q^{n+1} \\ \to s_n &= \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \end{aligned} ]

Dies ist die Summenformel für eine geometrische Reihe.

Anwendung der geometrischen Reihe auf wiederkehrende Investitionen

Endwert

Wie wir zuvor gesehen haben, ergibt eine wiederkehrende Investition:

[ K(t) = R * (1 + q^1 + q^2 + q^3 + \ldots + q^t) ]

Nun setzen wir einfach die Formel für wiederkehrende Zinsen ein:

[ K(t) = R * \frac{1 - q^{t+1}}{1 - q} ]

Dies ist der sogenannte Endwert einer Investition. Normalerweise unterscheiden Finanzexperten nun zwischen vorschüssigen und nachschüssigen Zinsen. Nachschüssige Zinsen entstehen immer nach der Zahlung der nächsten Rate. Bei vorschüssigen Zinsen muss ein weiterer Zeitschritt berücksichtigt werden:

Nachschüssig	Vorschüssig
$R * \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$	$R * \frac{1 - q^{n}}{1 - q} * q$

In einigen Lehrbüchern werden die Vorzeichen anders aussehen. Dies ist einfach eine Multiplikation mit $-1$ im Zähler und Nenner - es ist also dieselbe Gleichung.

Nachschüssig	Vorschüssig
$R * \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$	$R * \frac{q^{n} - 1}{q - 1} * q$

Als einfaches Beispiel nehmen wir an, wir haben einen jährlichen Zinssatz von $4%$. Angenommen, wir investieren zu Beginn jedes Jahres $1200 Eur$ und betrachten die Entwicklung im Laufe der Zeit:

[ K(t) = 1200 * \frac{1.04^t - 1}{1.04 - 1} ]

Wenn wir eine monatliche Investition betrachten möchten, aber den jährlichen Zinssatz kennen, müssen wir den monatlichen Zinssatz anpassen. Wir wissen, dass die wiederkehrende Anwendung (12 Mal) des monatlichen Zinssatzes den jährlichen Zinssatz ergeben muss:

[ \begin{aligned} q_{12}^12 &= q \\ q_{12} &= q^\frac{1}{12} \end{aligned} ]

Schauen wir uns an, was passiert, wenn wir jeden Monat $100 Eur$ mit denselben Parametern wie oben investieren:

[ K(t) = 100 * (q^\frac{1}{12})^{12 * t} ]

Wir haben in der Modellierung die Zeiteinheit auf Monate geändert, während $t$ weiterhin in Jahren angegeben wird.

Barwert

Nehmen wir nun an, wir möchten wissen, wie viel wir benötigen, wenn wir einen festen Betrag $R$ aus einer Anlagemethode mit einem festen Zinssatz regelmäßig abheben möchten und wissen wollen, wie viel Geld wir dafür benötigen. Dies ist ein typisches Beispiel für eine Rentenberechnung. Dies funktioniert genau gleich - wir müssen nur den Wert einer wiederkehrenden Investition am Ende, aber zu ihrem Beginn kennen. Dazu können wir den Barwert einfach berechnen, indem wir über den gesamten Zeitraum abzinsen. Angenommen, der Endwert ist

[ E(t) = K_0 * \frac{1 - q^t}{1 - q} ]

Dann können wir den Wert zu Beginn des Zeitraums berechnen, indem wir von konstanten wiederkehrenden Zinsen ausgehen:

[ \begin{aligned} B(t) &= E(t) * \frac{1}{q^t} \\ &= K_0 * \frac{1 - q^t}{1 - q} \frac{1}{q^t} \end{aligned} ]

Wiederum unterscheiden Finanzexperten zwischen vorschüssigen und nachschüssigen Zinssätzen - der einzige Unterschied besteht erneut in einem weiteren oder weniger Zeitschritt.

	Nachschüssig	Vorschüssig
Endwert	$R * \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$	$R * \frac{q^{n} - 1}{q - 1} * q$
Barwert	$R * \frac{q^{n} - 1}{q - 1} \frac{1}{q^n}$	$R * \frac{q^{n} - 1}{q - 1} \frac{1}{q^{n-1}}$