Fermi Alterstheorie

• Fermi Altersgleichung
• Einzelne punktförmige Quelle
• Flächen- und gleichverteilte Quellen

Fermi Altersgleichung

Aus der Kontinuitätsgleichung für unendlich ausgedehnte Medien mit punktförmigen Quellen folgt

$$\begin{align} \underbrace{\frac{\partial q}{\partial E}(\vec{r}, E)}_{\text{Moderation}} + \underbrace{\text{div} \vec{J}(\vec{r}, E)}_{\text{Ausfluss}} + \underbrace{\Sigma_a(\vec{r}, E) \phi(\vec{r}, E)}_{\text{Absorption}} = \underbrace{S(\vec{r},E)}_{\text{Quellen}} \end{align}$$

Der Term $\frac{\partial q}{\partial E}$ beschreibt mit Hilfe der Bremsdichte $q$ (d.h. die Zahl der Neutronen, die unter eine Energie von E gebremst werden), wie viele Neutronen mit der Energie E abgebremst werden.

$$\begin{align} \vec{J}(\vec{r}, E) = -D(E) \text{grad} \phi(\vec{r}, E) \\ q(E) = \int_E^{\frac{E}{\alpha}} \Sigma_s(E’) \phi(E’) \frac{E - \alpha E’}{(1-\alpha)E’} \text{d}E’ \\ \end{align}$$

Bei der ersten Gleichung handelt es sich um das Fick’sche Diffusionsgesetz (also den Zusammenhang zwischen Neutronenstrom $\vec{J}(\vec{r},E)$ und Neutronenfluss $\phi(\vec{r}, E)$), bei der zweiten Gleichung um die Bremsdichte $q(E)$, also die Zahl der Neutronen, die pro Zeiteinheit auf eine Energie unter die Energie $E$ abgebremst werden. Der Absorptionsterm sowie der Quellterm entstammen hierbei der ursprünglichen Kontinuitätsgleichung.

Wird nun noch angenommen, dass der Neutronenfluss einer $\frac{1}{E}$ Verteilung folgt ($E’ \phi(E’) \approx E \phi(E)$), folgt

$$\begin{align} E’ \phi(E’) \approx E \phi(E) \\ q(E) = \Sigma_s(E) \phi(\vec{r}, E) E \underbrace{\int_E^{\frac{E}{\alpha}} \frac{E-\alpha E’}{(1-\alpha)E’^2}}_{1 + \frac{\alpha}{1-\alpha} \text{ln} \alpha = \chi} = \Sigma_s(E) \phi(\vec{r}, E) \chi E \\ \phi(\vec{r}, E) \Sigma_s(E) \chi E = q(\vec{r}, E) \\ \phi(\vec{r}, E) = \frac{q(\vec{r}, E)}{\Sigma_s(E) \chi E} \end{align}$$

Einsetzen liefert für einen monochromatischen Quellterm $S(\vec{r}) \delta(E-E_0)$

$$\begin{align} \frac{\partial q(\vec{r}, E)}{\partial E} + \Sigma_a(\vec{r}, E) \frac{q(\vec{r}, E)}{\Sigma_s(E) \chi E} - \frac{D(E)}{\Sigma_s(E) \chi E} \vec{\Delta} q(\vec{r}, E) + S(\vec{r}) \delta(E - E_0) = 0 \end{align}$$

Wird nun von einem quellfreien Medium ausgegangen und nur ein Bereich betrachtet, in dem keine Absorption sondern nur Streuung stattfindet, wird $S=0$ und $\Sigma_a = 0$, dass heißt es gilt die Fermi Altersgleichung

$$\begin{align} \frac{\partial q}{\partial E} (\vec{r}, E) - \frac{D(E)}{\Sigma_s(E) \chi E} \vec{\Delta} q(\vec{r}, E) = 0 \\ \tau(E) = \int_E^{E_0} \frac{D(E’)}{\chi \Sigma_s(E’) E’} \text{d}E’ \\ \to \frac{\partial q}{\partial E} = \underbrace{\frac{D(E)}{\Sigma_s(E) \chi E}}_{\frac{\partial \tau}{\partial E}} \vec{\Delta} q(\vec{r}, E) \\ \to \frac{\partial q}{\partial E} = \frac{\partial \tau}{\partial E} \vec{\Delta} q(\vec{r}, E) \\ \to \frac{\partial q}{\partial E} \frac{\partial E}{\partial \tau} = \vec{\Delta} q(\vec{r}, E) \\ \to \frac{\partial q(\vec{r}, \tau)}{\partial \tau} = \Delta q(\vec{r}, \tau) \end{align}$$

Hierbei wurde die Größe $\tau$ eingeführt, das so genannte Fermi Alter von Neutronen. Hierbei handelt es sich wie später gezeigt um den durchschnittlichen Neutronendiffusionskoeffizienten während des Abbremsvorgangs. Wird auch Absorption berücksichtigt, muss der Absorptionsterm hinzugefügt werden:

$$\begin{align} \frac{\partial q(\vec{r}, \tau)}{\partial \tau} = \Delta q(\vec{r}, \tau) - \frac{\Sigma_a}{\Sigma_a \chi E} \frac{\chi \Sigma_s E}{D} q \end{align}$$

Zur Lösung der Fermi Altersgleichung wählt man den Seperationsansatz $q(\vec{r}, \tau) = q_0(\vec{r}, \tau) p(\tau)$. Hierbei ist $q_0(\vec{r}, \tau)$ eine Lösung der homogenen Fermi-Altersgleichung mit $\Sigma_a = 0$. Die Absorption kann dann als Störung mit $\Sigma_a \ll \Sigma_s$ eingeführt werden. Es ergibt sich

$$\begin{align} p(E) = \text{e}^{-\int_{E}^{E_0} \frac{\Sigma_a}{\chi \Sigma_s} \frac{\text{d}{E’}}{E’}} \end{align}$$

Diese Lösung ist durch die Diffusionsapproximation (das heißt nicht zu Nahe an Quellen, nur bei geringer Flussvariation) sowie eine geringe Energieänderung pro Stoß beschränkt. $\chi$ ist hierbei wieder das bereits bekannte mittlere logarithmische Energiedekrement.

Die mittlere Zeit zwischen den Stößen beträgt $\frac{\lambda_s}{v} = \frac{1}{\Sigma_s v} = t_s$. Hiermit ergibt sich bei der Annahme quasikontinuierlicher Streuung (das heißt für sehr kleine $\chi$) die mittlere zeitliche logarithmische Energieänderung zu

$$\begin{align} - \frac{\text{d} \text{ln} E}{\text{d}t} = \frac{\chi}{t_s} = \chi v \Sigma_s \\ - \frac{\text{d} \text{ln} E}{\text{d}t} = \frac{\text{d} \text{ln} E}{\text{d} E} \frac{\text{d}E}{\text{d}t} = -\frac{1}{E} \frac{\text{d}E}{\text{d}t} = \frac{\text{d}u}{\frac{d}t} \\ - \frac{\text{d}E}{E} = \chi \Sigma_s v \text{d}t \\ T = \int_0^t \text{d}t = \int_E^{E_0} \frac{1}{\Sigma_s v \chi} \frac{\text{d} E’’}{E’} \\ \end{align}$$

Zusammen mit $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ folgt also für das chronologisch Neutronenalter, also die Zeit, die von der Spaltung an bis zur Abbremsung auf die Energie $E$ erforderlich ist

$$\begin{align} t = \frac{1}{\Sigma_s \chi} \sqrt{2m} \left(\frac{1}{\sqrt{E}} - \frac{1}{\sqrt{E_0}} \right) \end{align}$$

Für das Fermialter gilt

$$\begin{align} \tau = \int_E^{E_0} \frac{D(E’)}{\chi \Sigma_s(E’)} \frac{\text{d}E’}{E’} = \int_0^t \underbrace{D(t’)v(t’)}_{D_0} \text{d}t’ \\ \bar{D_0} = \frac{1}{t} \int_0^t D_0 \text{d}t \\ \to \tau(E) = \bar{D_0} t \end{align}$$

Einzelne punktförmige Quelle

Betrachtet man eine einzelne punktförmige Quelle und wählt den Koordinatenursprung $\vec{r}=0$ als Position der Quelle, ergibt sich ein radialsymmetrisches Problem. Die Fermi-Altersgleichung kann also in Kugelkoordinaten transformiert werden:

$$\begin{align} \frac{\partial q(\vec{r}, \tau)}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 q(\vec{r}, \tau}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial q(\vec{r}, \tau)}{\partial r} - Q(\vec{r}) \delta(\vec{r}) \end{align}$$

Hieraus folgt für die Bremsdichte in Abhängigkeit vom Fermi-Alter

$$\begin{align} q(\vec{r}, \tau) = \frac{Q}{(4\pi r)^{\frac{3}{2}}} \text{e}^{\frac{r^2}{4 \tau}} \end{align}$$

Mit der bekannten Verteilungsfunktion (der Bremsdichte) kann nun der Erwartungswert des mittleren Verschiebungsquadrats berechnet werden:

$$\begin{align} \bar{r^2(\tau)} = \frac{\int_0^\infty r^2 \frac{1}{(4 \pi \tau)^\frac{3}{2}} \text{e}^{\frac{r^2}{4\tau}} 4 \pi r^2 \text{d}r^2}{\int_0^\infty \frac{1}{(4 \pi \tau)^\frac{3}{2}} \text{e}^{\frac{r^2}{4\tau}} 4 \pi r^2 \text{d}r^2} \\ = \frac{\int_0^\infty r^2 \text{e}^{\frac{r^2}{4 \tau}} \text{d}r}{\int_0^\infty \text{e}^{\frac{r^2}{r\tau}} \text{d}r} = 6 \tau \end{align}$$

Das Fermialter ergibt hierbei für Punktförmige Quellen $\tau = \frac{1}{6} \bar{r^2}$.

Flächen- und gleichverteilte Quellen

Ändert man die Randbedingungen ergibt sich für Flächenquellen der Zusammenhang $\tau=\frac{1}{2} \bar{r^2}$. Für homogen verteilte Quellen ist die Bremsdichte $q(\vec{r}, \tau) = \frac{Q_0}{V}$. Aufgrund der superponierbaren Lösungen der Altersgleichung lässt sich ein Quellterm für thermische Neutronen mit berücksichtigter Absorption definieren:

$$\begin{align} S_{th}(\vec{r}, \tau) = p(\tau_{th}) q(\vec{r}, \tau_{th}) \end{align}$$

Laut der kritischen Gleichung entstehen $k_\infty = f \eta \epsilon \chi(\tau_0)$ schnelle Neutronen des Alters $\tau_0$. Das heißt, dass $f \eta \epsilon = \frac{k_\infty}{p}$. Es entstehen also $\frac{k_\infty}{p} \Sigma_a \phi(\vec{r}) \chi(\tau_0)$ schnelle Spaltneutronen des Alters $\tau_0$.

Mit der mittleren Spaltenergie $\bar{E} = \int_{E_th}^{\infty} \tau(E, E_0) \chi(E_0) \text{d}E_0$ kann das mittlere Entstehungsalter $\bar{\tau_0}$ definiert werden:

$$\begin{align} \bar{\tau_0} = \int_{E_{th}}^\infty \tau(E, E_0) \chi(E_0) \text{d}E_0 \end{align}$$

Die Bremsdichte der Neutronen ergibt sich hiermit zu

$$\begin{align} q(\vec{r}, \tau = 0) = \underbrace{\frac{k_\infty}{p} \Sigma_a \phi(\vec{r})}_{\text{Spaltung}} + \underbrace{S(\vec{r})}_{\text{stationäre Quellen}} \end{align}$$