Räumliche Verteilung bei endlicher Geometrie

• Plattengeometrie
• Quadergeometrie
• Quellen schneller Neutronen

Plattengeometrie

Im folgenden wird zuerst eine Plattengeometrie (d.h. ein eindimensionales Problem) betrachtet. Der Reaktor verfügt über eine thermische Neutronenquelle an der Position $x=0$, er hat eine Kantenlänge von $\tilde a = a + 0.71 \lambda_{tr}$. Desweiteren von von Eingruppendiffusion ausgegangen, d.h. es gilt

[ \begin{align} \underbrace{D \Delta \phi(x)}_{\text{Neutronenstrom}} - \underbrace{\Sigma_a \phi(x)}_{\text{Absorption}} + S(x) = 0 \end{align} ]

Der Quellterm wird mit $S(x) = Q_0 \delta(x)$ angenommen, wobei jeweils $\frac{Q_0}{2}$ in positive und in negative Richtung emittiert werden. Im Quellfreien Raum gilt wieder

[ \begin{align} \frac{\text{d}^2 \phi(x)}{\text{d}x^2} - \frac{1}{L^2} \phi(x) = 0 \end{align} ]

Die Randbedingungen für das Prolem lauten $\phi(\tilde a) = 0$ sowie $\lim_{x\to 0} J(x) = \frac{Q_0}{2}$. Hieraus folgt:

[ \begin{align} \phi(x) = A \text{e}^{- \frac{x}{L}} + B \text{e}^{\frac{x}{L}} \\ \phi(\tilde a) = A \text{e}^{- \frac{\tilde a}{L}} + B \text{e}^{\frac{\tilde a}{L}} \\ \to B = -A \text{e}^{-\frac{2 \tilde a}{L}} \\ \phi(x) = A \left(e^{-\frac{x}{L}} - \text{e}^{- \frac{2 \tilde a - x}{L}} \right) \\ \lim_{x \to 0} J(x) = \frac{Q_0}{2} \\ J = -D \frac{\text{d} \phi(x)}{\text{d}{x}} \\ \to A = \frac{Q_0}{2} \frac{L}{D} \frac{1}{1 + \text{e}^{-(2 \tilde a)}{L}} \\ \to \phi(x) = \frac{Q_0}{2} \frac{L}{D} \frac{e^{-\frac{x}{L}} - \text{e}^{-\frac{(2 \tilde a - x}{L}}}{1 + \text{e}^{-\frac{2 \tilde a}{L}}} \\ \to \phi(x) = \frac{Q_0}{2} \frac{L}{D} \frac{\text{sinh} \frac{\tilde a - x}{L}}{\text{cosh} \frac{\tilde a}{L}} \end{align} ]

Quadergeometrie

Hierbei kommen entsprechende Randbedingungen zum Einsatz:

[ \begin{align} \phi \left(x,y,\tilde c \right) = 0 \\ \phi \left(\frac{\tilde a}{2}, y, z \right) = 0 \\ \phi \left(x, \frac{\tilde b}{2}, z \right) = 0 \end{align} ]

Die Eingruppendiffusionsgleichung wird zu

[ \begin{align} \frac{\partial^2 \phi(x, y, z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi(x, y, z)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi(x, y, z)}{\partial z^2} - \frac{1}{L^2} \phi(x) = 0 \\ \phi(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) \\ \underbrace{\frac{1}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial^2 x}}_{-\alpha^2} + \underbrace{\frac{1}{Y(y)} \frac{\partial^2 Y(y)}{\partial^2 y}}_{-\beta^2} + \underbrace{\frac{1}{Z(z)} \frac{\partial^2 Z(z)}{\partial^2 z}}_{-\gamma^2} - \frac{1}{L^2} = 0 \end{align} ]

Einsetzen der Randbedingungen liefert

[ \begin{align} \phi(x,y,z) = \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty A_{mn} \cos \frac{m \pi x}{\tilde a} \cos \frac{n \pi x}{\tilde b} \left(\text{e}^{-z \gamma_{mn}} - \text{e}^{-(2\tilde c - z) \ gamma_{mn}}\right) \\ A_{mn} = \frac{8}{\gamma_{mn} \left(1 - \text{e}^{-2 \tilde c \gamma_{mn}}\right)} \frac{Q_0}{D} \frac{1}{mn \pi^2} \\ \gamma_{11}^2 = \frac{1}{L^2} + \left(\frac{\pi}{\tilde a}\right)^2 + \left( \frac{\pi}{\tilde b} \right)^2 \end{align} ]

Die Koeffizienten fallen mit steigenden $m$ und $n$ stark an. Der Fundamentalterm ist $m=n=1$. Der Fluß in z Richtung fällt schneller als ab bei Plattengeometrie.

Quellen schneller Neutronen

Für den Quellterm schneller Neutronen wird die Fermi Alterstheorie verwendet.

[ \begin{align} S_{th}(\vec{r}, \tau) = p_{th} \frac{Q_0}{(4 \pi \tau)^\frac{3}{2}} \text{e}^{- \frac{r^2}{4 \tau}} \end{align} ]

Die Konstruktion für den thermischen Fluß ist aufwändiger als die bisherigen Lösungen.

folgt noch